线代知识大杂烩

基本结论

矩阵乘法

矩阵转置

对称矩阵

可逆矩阵

初等矩阵

单位矩阵只经过一次初等变换而得到的矩阵

对矩阵作初等行变换等价于用对于的初等矩阵左乘矩阵
对矩阵作初等列变换等价于用对于的初等矩阵右乘矩阵

行列式

行列式展开定理

伴随矩阵

分块矩阵

将矩阵 用纵线和横线分成若干小块：

分块加法

两个行数相同、列数相同且分块方式相同的矩阵相加时，对应子块相加：

分块数乘

分块乘法

将 和 分块时，要求 的列的分法与 的行的分法一致：

分块转置

即：子块先各自转置，再把子块本身当作元素进行转置。

分块对角矩阵

称为分块对角矩阵（或准对角矩阵），记作 。

性质：

• 行列式：
• 幂运算：
• 可逆性： 可逆 每个 都可逆，且

分块三角矩阵

上三角分块矩阵（对角块均为方阵）：

性质：

• 行列式：
• 对于分块下三角矩阵同理

常用分块矩阵公式

拉普拉斯展开式：

分块矩阵求逆（ 可逆）：

线性相关性

唯一表示定理：设向量组线性无关，又设该向量组添加一个向量后的向量组线性相关，则向量可由向量组线性表示且表示式唯一

线性无关的证明： 对于向量组，设实数满足
若不全为0，则线性相关；若全为0，则线性无关

秩

任意矩阵的行秩与列秩相等，其值等于它对应的最简阶梯型矩阵或阶梯型矩阵的非零行的行数
初等变换不改变矩阵的秩
规定零矩阵的秩为0

设都是可逆矩阵，则

矩阵的秩有如下性质

向量空间

维数：向量空间的基所含向量的个数

变基：
设维向量空间，则可由线性表示：

称矩阵为由基到基的过渡矩阵

过渡矩阵一定为可逆矩阵
要将基下的坐标转换到基下的坐标,需要左乘过渡矩阵的逆矩阵

特征值

求解

由 求特征值 ，再对每个 解齐次方程组 求特征向量。

展开后为 的 次多项式，称特征多项式。特征方程 的根即特征值。

性质

若 阶矩阵 的特征值为 ，则：

代数重数：特征值 作为特征多项式根的重数，记作 。

几何重数：特征值 对应的特征子空间的维数 ，记作 。

恒有 。

方阵的对角化

可对角化 存在可逆矩阵 使 。

充要条件：

• 有 个线性无关的特征向量
• 每个特征值的几何重数 = 代数重数，即
• 阶矩阵有 个不同特征值 可对角化（充分非必要）

求解步骤：

1. 求特征值
2. 对每个 ，解 得线性无关的特征向量
3. 以特征向量为列构成 ，对应的特征值排成
4. 验证

Euclid空间

向量内积

在 维实向量空间 中定义 **内积** ：

定义了内积的 称为 Euclid空间。

内积性质（）：

范数（长度）：

夹角：

正交：

标准正交基

若向量组 满足：

• 两两正交：
• 均为单位向量：

则称其为标准正交向量组。构成向量空间基的标准正交向量组称为标准正交基。

标准正交基下坐标计算简便：若 为标准正交基，则 。

施密特正交化

将线性无关组 化为标准正交组 。

求解步骤：

1. 正交化（得 ）：

2. 单位化（得 ）：

正交矩阵

若 阶实矩阵 满足 （即 ），则称 为 **正交矩阵**

性质：

实对称矩阵

实对称矩阵的特征值和特征向量

为实对称矩阵 且 的元素均为实数。

性质：

• 实对称矩阵的特征值均为实数
• 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交
• 实对称矩阵的每个特征值的几何重数 = 代数重数

对角化

实对称 存在正交矩阵 ，使：

求解步骤：

1. 求 的根，得特征值 （均为实数）
2. 对每个 ，解 得基础解系（特征向量）
3. 若 为重根，对其特征向量作 Schmidt 正交化
4. 将所有特征向量单位化，以它们为列构成正交矩阵
5. 得

二次齐次多项式

二次型

元**二次型**：

其中 ， 为 阶实对称矩阵（），称为二次型的矩阵。

构造 的方法：对角元 为 的系数；非对角元 为 系数的一半。

矩阵的合同

对于 阶方阵 ，若存在可逆矩阵 使 ，则称 与 **合同**

性质：

• 合同关系具有自反性、对称性、传递性
• 合同变换保持对称性：若 对称，则 也对称
• 合同变换不改变秩：

**充要条件：**正负惯性系数相同

用正交变换化二次型为标准形

存在正交变换 （ 正交），使：

其中 为 的特征值。此即主轴定理：任何实二次型均可通过正交变换化为标准形，系数恰为矩阵的特征值。

求解步骤：

1. 写出二次型的对称矩阵 （对角元为平方项系数，非对角元为交叉项系数的一半）
2. 对 作正交对角化，得特征值 和正交矩阵
3. 令 ，得标准形

正定二次型与正定矩阵

二次型的规范形

由惯性定理：二次型经任何可逆线性变换化为标准形后，正平方项个数 和负平方项个数 不变（与变换方式无关）。

——**正惯性指数**，——**负惯性指数**，——**符号差**，。

令 （系数均为 ），此即二次型的规范形。

由霍尔维茨定理（Sylvester 判别法）： 正定 的各阶顺序主子式均 ：

负定： 奇数阶顺序主子式 ，偶数阶

正定二次形

若对任意 ，恒有 ，则称 为**正定二次型**， 为**正定矩阵**。

判别条件（以下等价）：

• 正定
• 的特征值全为正
• 的正惯性指数
• 的各阶顺序主子式
• 存在可逆矩阵 使

半正定： （） 特征值均 正惯性指数

方程组的解问题

线性方程组解的结构

基础解系

齐次线性方程组 的解空间的**基**称为该方程组的一个**基础解系**。

设 ，则将 通过初等行变换化为最简阶梯型，取 个自由未知量（通常取不在主元列的变量），分别令其中一个为 、其余为 ，回代解得主元变量的值，得到的 个线性无关的解向量 即构成基础解系。

解空间维数：

齐次线性方程组

解的结构（ 时）：

其中 为基础解系。

求解步骤：

1. 对系数矩阵 作初等行变换，化为阶梯型，求出
2. 若 ，仅有零解；若 ，继续
3. 进一步化为最简阶梯型，确定主元变量与自由变量
4. 令自由变量依次取 ，回代求出基础解系
5. 通解为基础解系的任意线性组合

非齐次线性方程组

有解判定：

解的结构（有解时）：

即：导出组 的通解 + 原方程组的一个特解 。

求解步骤：

1. 对增广矩阵 作初等行变换，化为阶梯型
2. 比较 与 ：不等则无解
3. 继续化为最简阶梯型，确定主元变量与自由变量
4. 令所有自由变量 ，回代求出一个特解
5. 令 ，求导出组的基础解系
6. 写出通解

方阵相似

若对于阶方阵为可逆矩阵，使得

则称和相似，记作

性质

• 自反性
• 对称性
• 传递性

以上均为必要条件，但非充分。例如特征值相同不能保证相似，除非两个矩阵均可对角化且特征值（含重数）完全相同。

对于可对角化的矩阵，若特征值相同，则方阵相似